Así como se definieron operaciones para dos funciones dadas, existen para los límites de estas, teoremas que facilitaran su cálculo. Estas proposiciones aunque necesitan demostración, se decide posponerlas hasta que se de la definición formal del limite.
l.- Límites de operaciones con funciones (Teorema) sean F y G dos funciones, si existen sus límites:
El lenguaje algebraico es una forma de escribir mediante ecuaciones matemáticas, algún problema que se plantea en el lenguaje convencional. Una vez que escribimos dicho problema en el lenguaje algebraico lo resolvemos al encontrar la solución de la ecuación que resulte.
A continuación vamos a dar una lista de problemas de leguaje común y vamos a traducirlo al lenguaje algebraico.
<! Un número cualquiera. _____ x________________
<! El doble de un número cualquiera. ____2x_____________
<!El triple de un numero cualquiera ____ _____3x__________
<La mitad de un número cualquiera. ________x/2_________
A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicio, en donde escribiremos los enunciados de lenguaje común, al lenguaje algebraico.
1. El cuadrado de un numero________________________________
2. El cubo de un numero __________________________________
3. La suma de dos números_________________________________
4. La diferencia de dos números _____________________________
5. El cuadrado de la suma de dos números______________________
6. Tres números sucesivos__________________________________
7. El producto de dos números cualesquiera_____________________
8. El producto de la suma por la diferencia de dos números__________
9. La diferencia de los cubos de dos números____________________
10. El cociente de dos números______________________________
11. La tercera parte de un numero____________________________
12. La diferencia de los cuadrados de dos número_________________
13. El antecesor de un numero_______________________________
14. Un número disminuido en dos unidades______________________
15. El cubo de la suma de dos numeros________________________
16. El cubo de la diferencia de dos números. ____________________
17. El reciproco de un numero_______________________________
18. El doble producto de dos números_________________________
19. El promedio de dos números_____________________________
20. El inverso aditivo de un numeros__________________________
21. La suma de los cuadrados de dos números__________________
22. El cuadrado de la tercera parte de un numero________________
Ahora traduzca al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas
Vamos a traducir el siguiente problema de la vida cotidiana del lenguaje común al lenguaje algebraico( vamos a plantear el problema matemáticamente) y a continuación resolvemos el problema matemático que resulte.
< La suma de tres números sucesivos es igual a 153.
Solución. Tres números consecutivos serian en el leguaje algebraico los siguientes:
N, N+1, N+2
La suma se indica cómo.
N+N+1+N+2= 153
Resolviendo la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta obtenemos lo siguiente:
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos(minuendo) y uno de ellos (sustraendo) , hallar el otro sumando(resta o diferencia).
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.
Resolver el siguiente ejercicio De:
1. a + b restar a – b
2. 2x – 3y restar –x + 2y
3. 8a + b restar -3a + 4
4. x² - 3x restar -5x + 6
5. a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
6. x – y + z restar x – y + z
7. x + y – z restar –x –y +z
8. x² + y² - 3xy restar -y² + 3x² - 4xy
9. x³ - x² + 6 restar 5x² - 4x + 6
10. y² +6 y³ - 8 restar 2y⁴ - 3y² + 6y
11. 1/2a -2/3b restar 4/5a +2/9b – ½
12. 5/9x² - 3/8y² restar 5/7xy + 1/10y² -3/11
13. 5/6m³ + 2/9n³ restar -1/2m²n + 3/8mn² - 1/5n³
14. 3/7a² + 1/3ab – 3/5b² restar 5/14a² + 1/2ab – 1/8
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones x + y = 5
x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES
son las que se obtienen una de la otra.
Así, x + y = 4
2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tiene infinitas soluciones comunes.
Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
ELIMINACION POR IGUALACION
Resolver el sistema 7x + 4y = 13 (1)
5x – 2y = 19 (2)
Despejemos una de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.
Despejando x en (1): x = (13 – 4y) / 7
Despejando x en (2) x = (19 + 2y) / 5
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido:
(13 – 4y) / 7 = (19 + 2y) / 5
Y ya tenemos una sola ecuación con una sola incógnita: hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación:
Es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la ecuación es 2.
Así 3x²+ 2x + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado.
Estas ecuaciones pueden ser completas e incompletas.
Existen diferentes métodos para resolver una ecuación de segundo grado, uno de ellos es aplicando la formula general .
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a Formula general
Ejemplo.
Resolver la ecuación 3x² - 7x + 2= 0
Solución.
Aplicamos la formula general
a=3, b=-7, c=2
Expresión algebraica
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas
a, 5x, x², √x (a+b)/c,
Término
Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados por el signo de más o de menos. Así a, 5b, 2xy, 4a/3x son términos.
Términos semejantes.
Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras afectadas por los mismos exponentes.
2a y 4a ; -2b y 10b ; 5a³y 10a³
Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo termino dos o más semejantes
A continuación se muestran algunos sitios de internet donde podrás ver algunos videos educativos relacionados con el tema, ahí se se te dará una explicación como resolver los problemas que aquí se te indican. http://www.youtube.com/watch?v=Tbl00zznaAU&feature=fvsr
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
a=1, b=2, c=3, m=1/2, n=1/3, p=1/4
