descomposición factorial (factorizacion)

Descomposición factorial

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como resultado a la primera expresión.

Factorizar.  Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica consiste en transformarla en el producto indicado de sus factores.

Factorizar un monomio.

Los factores de un polinomio se pueden encontrar por simple observación por ejemplo.

30a²b³=( 3)(10)(a)(a)(b)(b)(b).

Factorizar un polinomio.

 Factor común monomio.

Ejemplo. 1

4b²+ 2b = 2b(2b +1)


Ejemplo 2

10a² - 5a + 15a³ = 5a(2a – 1 +3a²)

 Factor común polinomio

Ejemplo 1

Factorizar   x(a + b) + m(a + b)

En este caso el factor común es el polinomio  a+b ,de tal manera que si lo sacamos como factor común tendremos.

       X(a+b) +m(a+b) = (a+b)(x + m)

Ejemplo 2

2x(a-1) –y (a -1)

Aquí el factor común es el polinomio (a-1), asi es que si lo consideramos como factor común tenemos que

        2x(a-1)-y(a-1)=(a-1)(2x – y)

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto

Si vamos a factorizar un trinomio cuadrado perfecto, lo primero que debemos hacer es estar seguros que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, verificando que el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, y el segundo término del trinomio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término.

Una vez que estemos seguros que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, procedemos a factorizar sacando la raíz cuadrada al primero y al tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. Así el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por si mismo.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación

Axioma fundamental de las ecuaciones

Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.

Reglas que se derivan de este axioma

1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.

2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.

3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.

4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.

5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste

Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.

1. Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.

2. Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.

3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.

4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones

1. 5x= 8x – 15


2. 4x+ 1= 2


3. Y – 5 = 3y – 25


4. 5x + 6 = 10x +5


5. 9y – 11 = -10 + 5


6. 21 – 6x = 27 – 8x



7. 11x + 5x – 1 = 65x – 36



8. X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)



9. 15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)



10. X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)



11. 14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0



12. 6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}

A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.

Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.

Solucion.

En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A o B para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.

A + B = 84 Años

A= X años

B= A-8 años

Sustituyendo

X + X – 8 = 84 años

2x= 84 + 8

X= 92/2

X= 46


Por lo tanto


B= X – 8


B= 46 -8= 38

B = 38 añ0s

A= 46 años