descomposición factorial (factorizacion)

Descomposición factorial

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como resultado a la primera expresión.

Factorizar.  Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica consiste en transformarla en el producto indicado de sus factores.

Factorizar un monomio.

Los factores de un polinomio se pueden encontrar por simple observación por ejemplo.

30a²b³=( 3)(10)(a)(a)(b)(b)(b).

Factorizar un polinomio.

 Factor común monomio.

Ejemplo. 1

4b²+ 2b = 2b(2b +1)


Ejemplo 2

10a² - 5a + 15a³ = 5a(2a – 1 +3a²)

 Factor común polinomio

Ejemplo 1

Factorizar   x(a + b) + m(a + b)

En este caso el factor común es el polinomio  a+b ,de tal manera que si lo sacamos como factor común tendremos.

       X(a+b) +m(a+b) = (a+b)(x + m)

Ejemplo 2

2x(a-1) –y (a -1)

Aquí el factor común es el polinomio (a-1), asi es que si lo consideramos como factor común tenemos que

        2x(a-1)-y(a-1)=(a-1)(2x – y)

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto

Si vamos a factorizar un trinomio cuadrado perfecto, lo primero que debemos hacer es estar seguros que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, verificando que el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, y el segundo término del trinomio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término.

Una vez que estemos seguros que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, procedemos a factorizar sacando la raíz cuadrada al primero y al tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. Así el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por si mismo.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación

Axioma fundamental de las ecuaciones

Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.

Reglas que se derivan de este axioma

1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.

2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.

3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.

4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.

5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste

Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.

1. Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.

2. Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.

3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.

4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones

1. 5x= 8x – 15


2. 4x+ 1= 2


3. Y – 5 = 3y – 25


4. 5x + 6 = 10x +5


5. 9y – 11 = -10 + 5


6. 21 – 6x = 27 – 8x



7. 11x + 5x – 1 = 65x – 36



8. X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)



9. 15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)



10. X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)



11. 14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0



12. 6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}

A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.

Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.

Solucion.

En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A o B para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.

A + B = 84 Años

A= X años

B= A-8 años

Sustituyendo

X + X – 8 = 84 años

2x= 84 + 8

X= 92/2

X= 46


Por lo tanto


B= X – 8


B= 46 -8= 38

B = 38 añ0s

A= 46 años

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación

Axioma fundamental de las ecuaciones

Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.Reglas que se derivan de este axioma
1.    Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.
2.    Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.
3.    Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
4.    Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.
5.    Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste     
Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
1.    Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.
2.    Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.
3.    Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4.    Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones
1.     5x= 8x – 15
2.    4x+ 1= 2
3.    Y – 5 = 3y – 25
4.    5x + 6 = 10x +5
5.    9y – 11 = -10 + 5
6.    21 – 6x = 27 – 8x
7.    11x + 5x – 1 = 65x – 36
8.    X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)
9.    15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)
10.    X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)
11.    14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0
12.    6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}

A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.
Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solucion.
En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A  o B  para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.

A + B = 84 Años
A= X años
B= A-8 años
Sustituyendo
X + X – 8 = 84 años
2x= 84 + 8
X= 92/2
X= 46
Por lo tanto
B= X – 8
B= 46 -8= 38
B = 38 añ0s
A= 46 años

Propiedades de los límites

 Así como se definieron operaciones para dos funciones dadas, existen para los límites de estas, teoremas que facilitaran su cálculo. Estas proposiciones aunque necesitan demostración, se decide posponerlas hasta que se de la definición formal del limite.

l.- Límites de operaciones con funciones (Teorema) sean F y G dos funciones, si existen sus límites:

lim f(x)   lim g(x)

xàc       xàc

         a)lim [f(x)+ g(x)] = lim f(x) + lim g(x)

   xàc                    xàc        xàc                                                                           

b)lim [f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x)

     xàc                    xàc         xàc

                                                                                                                                                                                                                                                           

c)lim [f(x) . g(x)] = [lim f(x)] . [lim g(x)]

            xàc                    xàc         xàc

  

        d)lim f(x) = lim f(x)  si lim g(x)

           xàc g(x)   lim g(x)     xàc

2. Limite de una constante:

Si K es una constante, entonces: lim k = k

                                                      xàc

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una forma de escribir mediante ecuaciones matemáticas, algún problema que se plantea en el lenguaje convencional. Una vez que escribimos dicho problema en el lenguaje algebraico lo resolvemos al encontrar la solución de la ecuación que resulte.

A continuación vamos a dar una lista de problemas de leguaje común y vamos a traducirlo al lenguaje algebraico.

<! Un número cualquiera.              _____ x________________

<! El doble de un número cualquiera.   ____2x_____________

<!El triple de un numero cualquiera ____ _____3x__________

<La mitad de un número cualquiera. ________x/2_________

A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicio, en donde escribiremos los enunciados de lenguaje común, al lenguaje algebraico.

1. El cuadrado de un numero________________________________

2. El cubo de un numero __________________________________

3. La suma de dos números_________________________________

4. La diferencia de dos números _____________________________

5. El cuadrado de la suma de dos números______________________

6. Tres números sucesivos__________________________________

7. El producto de dos números cualesquiera_____________________

8. El producto de la suma por la diferencia de dos números__________

9. La diferencia de los cubos de dos números____________________

10. El cociente de dos números______________________________

11. La tercera parte de un numero____________________________

12. La diferencia de los cuadrados de dos número_________________

13. El antecesor de un numero_______________________________

14. Un número disminuido en dos unidades______________________

15. El cubo de la suma de dos  numeros________________________ 

16. El cubo de la diferencia de dos números. ____________________

17. El reciproco de un numero_______________________________

18. El doble producto de dos números_________________________

19. El promedio de dos números_____________________________

20. El inverso aditivo de un numeros__________________________

21. La suma de los cuadrados de dos números__________________

22. El cuadrado de la tercera parte de un numero________________

Ahora traduzca al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas

1.  (a+b)²                   _____________________________________

2. a²                           _____________________________________

3. 2a -3                      _____________________________________

4. 2a – b                    _____________________________________

5. a²- 2ab + b²           _____________________________________

6. (a-b)²                     ______________________________________

Vamos a traducir el siguiente problema de la vida cotidiana del lenguaje común al lenguaje algebraico( vamos a plantear el problema matemáticamente) y a continuación resolvemos el problema matemático que resulte.

<    La suma de tres números sucesivos es igual a 153.

Solución. Tres números consecutivos serian en el leguaje algebraico los siguientes:

N, N+1, N+2

La suma se indica  cómo.  

N+N+1+N+2= 153

Resolviendo la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta obtenemos lo siguiente:

3N+3 =153

3N = 153 – 3 = 150

3N = 150

N=150/3 =50

N = 50   Es el primer numero

N+1 = 51 Es el siguiente numero

N+2 =52 Es el siguiente numero

La resta o sustracción

Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos(minuendo) y uno de ellos (sustraendo) , hallar el otro sumando(resta o diferencia).
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.

Resolver el siguiente ejercicio De:

1.    a + b restar a – b
2.    2x – 3y restar –x + 2y
3.    8a + b restar -3a + 4
4.    x² - 3x restar -5x + 6
5.    a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
6.    x – y + z restar x – y + z
7.    x + y – z restar –x –y +z
8.    x² + y² - 3xy restar  -y² + 3x² - 4xy
9.    x³ - x² + 6 restar  5x² - 4x + 6
10.    y² +6 y³ - 8 restar 2y⁴ - 3y² + 6y
11.    1/2a -2/3b restar  4/5a +2/9b – ½
12.    5/9x² - 3/8y² restar  5/7xy + 1/10y² -3/11
13.    5/6m³ + 2/9n³ restar  -1/2m²n + 3/8mn² - 1/5n³
14.    3/7a² + 1/3ab – 3/5b²  restar  5/14a² + 1/2ab – 1/8

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ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones            x + y = 5
                    x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.

ECUACIONES EQUIVALENTES 

son las que se obtienen una de la otra.
Así,                      x + y = 4
                    2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
    Las ecuaciones equivalentes tiene infinitas soluciones comunes.
    Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
ELIMINACION POR IGUALACION
Resolver el sistema                7x + 4y = 13        (1)
                        5x – 2y = 19        (2)

Despejemos una de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

    Despejando x en (1):     x = (13 – 4y) / 7
   
    Despejando x en (2)    x = (19 + 2y) / 5

Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido:
           
                    (13 – 4y) / 7 = (19 + 2y) / 5

Y ya tenemos una sola ecuación con una sola incógnita: hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación:



                5(13 – 4y) = 7(19 + 2y)
                  65 – 20y = 133 + 14y
                     --20y –14y = 133 – 65
                        --34y = 68
                        y = --2   

sustituyendo el valer de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:

                7x + 4(--2) = 13
                       7x – 8 = 13            R. x = 3, y = --2.
                             7x = 21
                               x = 3


ELIMINACION POR SUSTITUCION

Resolver el sistema         2x + 5y = --24
                    8x – 3y = 19

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:

                x = (--24 – 5y) / 2

este valor de x se sustituye en la ecuación (2).

                8(--24 – 5y) – 3y = 19
                   --------------
                    2       

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.

Resolvemos esta ecuación. Simplificando 8 y 2 queda:

                4(--24 – 5y) – 3y = 19
  --96 – 20y – 3y = 19
                          --20y – 3y = 19 + 96
                                 -- 23y = 115
                                        y = --5

sustituyendo y = --5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:




                2x + 5(--5) = –24
                     2x – 25 = --24        R. x = 1/2, y = --5
                             2x = 1
                               x = 1/2

Haciendo x = 1/2 , y = --5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.


METODO DE REDUCCION

Resolver el sistema            5x + 6y = 20
                    4x – 3y = --23

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.

Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.

El m.c.m de los coeficientes de y, 6 Y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2X3=6, y tendremos:
                       
                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46

Como los coeficientes de y que hemos igualados tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:

                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46
                --------------------
                13x       = --26
                          x = --26/13
                          x = --2

Sustituyendo x = --2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

                5(--2) + 6y = 20
                  --10 + 6y = 20        R. x = --2, y = 5
                      6y = 30
                        y = 5

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