MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
LA MULTIPLICACION
http://www.youtube.com/watch?v=9STCESPYqCE&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=TCc-C_Uey2Y
El lenguaje algebraico es una forma de escribir mediante ecuaciones matemáticas, algún problema que se plantea en el lenguaje convencional. Una vez que escribimos dicho problema en el lenguaje algebraico lo resolvemos al encontrar la solución de la ecuación que resulte.
A continuación vamos a dar una lista de problemas de leguaje común y vamos a traducirlo al lenguaje algebraico.
<! Un número cualquiera. _____ x________________
<! El doble de un número cualquiera. ____2x_____________
<!El triple de un numero cualquiera ____ _____3x__________
<La mitad de un número cualquiera. ________x/2_________
A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicio, en donde escribiremos los enunciados de lenguaje común, al lenguaje algebraico.
1. El cuadrado de un numero________________________________
2. El cubo de un numero __________________________________
3. La suma de dos números_________________________________
4. La diferencia de dos números _____________________________
5. El cuadrado de la suma de dos números______________________
6. Tres números sucesivos__________________________________
7. El producto de dos números cualesquiera_____________________
8. El producto de la suma por la diferencia de dos números__________
9. La diferencia de los cubos de dos números____________________
10. El cociente de dos números______________________________
11. La tercera parte de un numero____________________________
12. La diferencia de los cuadrados de dos número_________________
13. El antecesor de un numero_______________________________
14. Un número disminuido en dos unidades______________________
15. El cubo de la suma de dos numeros________________________
16. El cubo de la diferencia de dos números. ____________________
17. El reciproco de un numero_______________________________
18. El doble producto de dos números_________________________
19. El promedio de dos números_____________________________
20. El inverso aditivo de un numeros__________________________
21. La suma de los cuadrados de dos números__________________
22. El cuadrado de la tercera parte de un numero________________
Ahora traduzca al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas
1. (a+b)² _____________________________________
2. a² _____________________________________
La resta o sustracción
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos(minuendo) y uno de ellos (sustraendo) , hallar el otro sumando(resta o diferencia).
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.
Resolver el siguiente ejercicio De:
1. a + b restar a – b
2. 2x – 3y restar –x + 2y
3. 8a + b restar -3a + 4
4. x² - 3x restar -5x + 6
5. a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
6. x – y + z restar x – y + z
7. x + y – z restar –x –y +z
8. x² + y² - 3xy restar -y² + 3x² - 4xy
9. x³ - x² + 6 restar 5x² - 4x + 6
10. y² +6 y³ - 8 restar 2y⁴ - 3y² + 6y
11. 1/2a -2/3b restar 4/5a +2/9b – ½
12. 5/9x² - 3/8y² restar 5/7xy + 1/10y² -3/11
13. 5/6m³ + 2/9n³ restar -1/2m²n + 3/8mn² - 1/5n³
14. 3/7a² + 1/3ab – 3/5b² restar 5/14a² + 1/2ab – 1/8
videos relacionados:
http://www.youtube.com/watch?v=cYa90WpGahQ&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=Pj95vjGSctg
Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
Reglas que se derivan de este axioma
1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.
3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.
5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste
Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
1. Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 5x= 8x – 15
2. 4x+ 1= 2
3. Y – 5 = 3y – 25
4. 5x + 6 = 10x +5
5. 9y – 11 = -10 + 5
6. 21 – 6x = 27 – 8x
7. 11x + 5x – 1 = 65x – 36
8. X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)
9. 15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)
10. X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)
11. 14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0
12. 6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}
A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.
Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solucion.
En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A o B para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.
A + B = 84 Años
A= X años
B= A-8 años
Sustituyendo
X + X – 8 = 84 años
2x= 84 + 8
X= 92/2
X= 46
Por lo tanto
B= X – 8
B= 46 -8= 38
B = 38 añ0s
A= 46 años
http://www.youtube.com/watch?v=LHSMS7TlKss
http://www.youtube.com/watch?v=qLNeyeezdrk&feature=related
LA MULTIPLICACION
es una operacion que tiene por objeto, dadas 2 cantidades llamadas multiplicando y multliplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Asi, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse tambien bac o acb.
LEY DE LOS SIGNOS
Distinguiremos 2 casos:
1) signo del producto de 2 factores. En este caso, la regla es:
signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (‒)
1. (+a) × (+b)= +ab
2. (‒a) × (+b)= ‒ab
3. (+a) × (‒b)= +ab
4. (‒a) × (‒b)= +ab
Lo anterior podemos resumirlo diciendo que
+ por + da +
‒ por ‒ da +
+ por ‒ da ‒
‒ por + da ‒
2) Signo del producto de mas de 2 factores. En este caso, la regla es:
a.- El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno.
Así, (‒a) × (‒b) × (‒c) × (‒d) = abcd
b.- El signo de productos de varios factores es ‒ cuando tiene un numero impar de factores negativos.
Así, (‒a) × (‒b) × (‒c) = ‒abc
Ley de los exponentes
para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
Así, a4 × a3 × a2= a4+3+2 = a9
EJERCICIOS.
1. a + 3 por a ‒ 1 8. ‒ 4y + 5x por ‒ 3x + 2y
2. a ‒ 3 por a + 1 9. 5a ‒ 7b por a + 3b
3. x + 5 por x ‒ 4 10. 7x ‒ 3 por 4 + 2x
4. m ‒ 6 por m ‒ 5 11. ‒ a + b por ‒ 4b +8a
5. ‒ x + 3 por ‒ x + 5 12. 6m ‒5n por ‒n + m
6. ‒ a ‒2 por ‒ a ‒ 3 13. 8n ‒ 9m por 4n + 6m
7. 3x ‒ 2y por y + 2x 14. ‒7y ‒ 3 por ‒11 + 2y
videos relacionados con el tema:
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Asi, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse tambien bac o acb.
LEY DE LOS SIGNOS
Distinguiremos 2 casos:
1) signo del producto de 2 factores. En este caso, la regla es:
signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (‒)
1. (+a) × (+b)= +ab
2. (‒a) × (+b)= ‒ab
3. (+a) × (‒b)= +ab
4. (‒a) × (‒b)= +ab
Lo anterior podemos resumirlo diciendo que
+ por + da +
‒ por ‒ da +
+ por ‒ da ‒
‒ por + da ‒
2) Signo del producto de mas de 2 factores. En este caso, la regla es:
a.- El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno.
Así, (‒a) × (‒b) × (‒c) × (‒d) = abcd
b.- El signo de productos de varios factores es ‒ cuando tiene un numero impar de factores negativos.
Así, (‒a) × (‒b) × (‒c) = ‒abc
Ley de los exponentes
para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
Así, a4 × a3 × a2= a4+3+2 = a9
EJERCICIOS.
1. a + 3 por a ‒ 1 8. ‒ 4y + 5x por ‒ 3x + 2y
2. a ‒ 3 por a + 1 9. 5a ‒ 7b por a + 3b
3. x + 5 por x ‒ 4 10. 7x ‒ 3 por 4 + 2x
4. m ‒ 6 por m ‒ 5 11. ‒ a + b por ‒ 4b +8a
5. ‒ x + 3 por ‒ x + 5 12. 6m ‒5n por ‒n + m
6. ‒ a ‒2 por ‒ a ‒ 3 13. 8n ‒ 9m por 4n + 6m
7. 3x ‒ 2y por y + 2x 14. ‒7y ‒ 3 por ‒11 + 2y
videos relacionados con el tema:
http://www.youtube.com/watch?v=9STCESPYqCE&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=TCc-C_Uey2Y
El lenguaje algebraico es una forma de escribir mediante ecuaciones matemáticas, algún problema que se plantea en el lenguaje convencional. Una vez que escribimos dicho problema en el lenguaje algebraico lo resolvemos al encontrar la solución de la ecuación que resulte.
A continuación vamos a dar una lista de problemas de leguaje común y vamos a traducirlo al lenguaje algebraico.
<! Un número cualquiera. _____ x________________
<! El doble de un número cualquiera. ____2x_____________
<!El triple de un numero cualquiera ____ _____3x__________
<La mitad de un número cualquiera. ________x/2_________
A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicio, en donde escribiremos los enunciados de lenguaje común, al lenguaje algebraico.
1. El cuadrado de un numero________________________________
2. El cubo de un numero __________________________________
3. La suma de dos números_________________________________
4. La diferencia de dos números _____________________________
5. El cuadrado de la suma de dos números______________________
6. Tres números sucesivos__________________________________
7. El producto de dos números cualesquiera_____________________
8. El producto de la suma por la diferencia de dos números__________
9. La diferencia de los cubos de dos números____________________
10. El cociente de dos números______________________________
11. La tercera parte de un numero____________________________
12. La diferencia de los cuadrados de dos número_________________
13. El antecesor de un numero_______________________________
14. Un número disminuido en dos unidades______________________
15. El cubo de la suma de dos numeros________________________
16. El cubo de la diferencia de dos números. ____________________
17. El reciproco de un numero_______________________________
18. El doble producto de dos números_________________________
19. El promedio de dos números_____________________________
20. El inverso aditivo de un numeros__________________________
21. La suma de los cuadrados de dos números__________________
22. El cuadrado de la tercera parte de un numero________________
Ahora traduzca al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas
1. (a+b)² _____________________________________
2. a² _____________________________________
La resta o sustracción
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos(minuendo) y uno de ellos (sustraendo) , hallar el otro sumando(resta o diferencia).
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.
Resolver el siguiente ejercicio De:
1. a + b restar a – b
2. 2x – 3y restar –x + 2y
3. 8a + b restar -3a + 4
4. x² - 3x restar -5x + 6
5. a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
6. x – y + z restar x – y + z
7. x + y – z restar –x –y +z
8. x² + y² - 3xy restar -y² + 3x² - 4xy
9. x³ - x² + 6 restar 5x² - 4x + 6
10. y² +6 y³ - 8 restar 2y⁴ - 3y² + 6y
11. 1/2a -2/3b restar 4/5a +2/9b – ½
12. 5/9x² - 3/8y² restar 5/7xy + 1/10y² -3/11
13. 5/6m³ + 2/9n³ restar -1/2m²n + 3/8mn² - 1/5n³
14. 3/7a² + 1/3ab – 3/5b² restar 5/14a² + 1/2ab – 1/8
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
Reglas que se derivan de este axioma
1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.
3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.
5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste
Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
1. Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 5x= 8x – 15
2. 4x+ 1= 2
3. Y – 5 = 3y – 25
4. 5x + 6 = 10x +5
5. 9y – 11 = -10 + 5
6. 21 – 6x = 27 – 8x
7. 11x + 5x – 1 = 65x – 36
8. X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)
9. 15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)
10. X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)
11. 14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0
12. 6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}
A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.
Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solucion.
En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A o B para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.
A + B = 84 Años
A= X años
B= A-8 años
Sustituyendo
X + X – 8 = 84 años
2x= 84 + 8
X= 92/2
X= 46
Por lo tanto
B= X – 8
B= 46 -8= 38
B = 38 añ0s
A= 46 años
http://www.youtube.com/watch?v=LHSMS7TlKss
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