jueves, 22 de septiembre de 2011

Lenguaje algebraico


El lenguaje algebraico es una forma de escribir mediante ecuaciones matemáticas, algún problema que se plantea en el lenguaje convencional. Una vez que escribimos dicho problema en el lenguaje algebraico lo resolvemos al encontrar la solución de la ecuación que resulte.
A continuación vamos a dar una lista de problemas de leguaje común y vamos a traducirlo al lenguaje algebraico.
<! Un número cualquiera.              _____ x________________
<! El doble de un número cualquiera.   ____2x_____________
<!El triple de un numero cualquiera ____ _____3x__________
<La mitad de un número cualquiera. ________x/2_________

A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicio, en donde escribiremos los enunciados de lenguaje común, al lenguaje algebraico.
1. El cuadrado de un numero________________________________
2. El cubo de un numero __________________________________
3. La suma de dos números_________________________________
4. La diferencia de dos números _____________________________
5. El cuadrado de la suma de dos números______________________
6. Tres números sucesivos__________________________________
7. El producto de dos números cualesquiera_____________________
8. El producto de la suma por la diferencia de dos números__________
9. La diferencia de los cubos de dos números____________________
10. El cociente de dos números______________________________
11. La tercera parte de un numero____________________________
12. La diferencia de los cuadrados de dos número_________________
13. El antecesor de un numero_______________________________
14. Un número disminuido en dos unidades______________________
15. El cubo de la suma de dos  numeros________________________ 
16. El cubo de la diferencia de dos números. ____________________
17. El reciproco de un numero_______________________________
18. El doble producto de dos números_________________________
19. El promedio de dos números_____________________________
20. El inverso aditivo de un numeros__________________________
21. La suma de los cuadrados de dos números__________________
22. El cuadrado de la tercera parte de un numero________________

Ahora traduzca al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas

1.  (a+b)²                   _____________________________________
2. a²                           _____________________________________
3. 2a -3                      _____________________________________
4. 2a – b                    _____________________________________
5. a²- 2ab + b²           _____________________________________
6. (a-b)²                     ______________________________________

Vamos a traducir el siguiente problema de la vida cotidiana del lenguaje común al lenguaje algebraico( vamos a plantear el problema matemáticamente) y a continuación resolvemos el problema matemático que resulte.
<    La suma de tres números sucesivos es igual a 153.
Solución. Tres números consecutivos serian en el leguaje algebraico los siguientes:
N, N+1, N+2
La suma se indica  cómo.  
N+N+1+N+2= 153
Resolviendo la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta obtenemos lo siguiente:
3N+3 =153
3N = 153 – 3 = 150
3N = 150
N=150/3 =50
N = 50   Es el primer numero
N+1 = 51 Es el siguiente numero
N+2 =52 Es el siguiente numero











miércoles, 7 de septiembre de 2011

La resta o sustracción


Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos(minuendo) y uno de ellos (sustraendo) , hallar el otro sumando(resta o diferencia).
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.
Resolver el siguiente ejercicio De:

1.    a + b restar a – b
2.    2x – 3y restar –x + 2y
3.    8a + b restar -3a + 4
4.    x² - 3x restar -5x + 6
5.    a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
6.    x – y + z restar x – y + z
7.    x + y – z restar –x –y +z
8.    x² + y² - 3xy restar  -y² + 3x² - 4xy
9.    x³ - x² + 6 restar  5x² - 4x + 6
10.    y² +6 y³ - 8 restar 2y⁴ - 3y² + 6y
11.    1/2a -2/3b restar  4/5a +2/9b – ½
12.    5/9x² - 3/8y² restar  5/7xy + 1/10y² -3/11
13.    5/6m³ + 2/9n³ restar  -1/2m²n + 3/8mn² - 1/5n³
14.    3/7a² + 1/3ab – 3/5b²  restar  5/14a² + 1/2ab – 1/8


VIDEOS RELACIONADOS:



ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS


ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones            x + y = 5
                    x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.

ECUACIONES EQUIVALENTES 
son las que se obtienen una de la otra.
Así,                      x + y = 4
                    2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
    Las ecuaciones equivalentes tiene infinitas soluciones comunes.
    Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
ELIMINACION POR IGUALACION
Resolver el sistema                7x + 4y = 13        (1)
                        5x – 2y = 19        (2)

Despejemos una de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

    Despejando x en (1):     x = (13 – 4y) / 7
   
    Despejando x en (2)    x = (19 + 2y) / 5

Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido:
           
                    (13 – 4y) / 7 = (19 + 2y) / 5

Y ya tenemos una sola ecuación con una sola incógnita: hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación:



                5(13 – 4y) = 7(19 + 2y)
                  65 – 20y = 133 + 14y
                     --20y –14y = 133 – 65
                        --34y = 68
                        y = --2   

sustituyendo el valer de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:

                7x + 4(--2) = 13
                       7x – 8 = 13            R. x = 3, y = --2.
                             7x = 21
                               x = 3


ELIMINACION POR SUSTITUCION

Resolver el sistema         2x + 5y = --24
                    8x – 3y = 19

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:

                x = (--24 – 5y) / 2

este valor de x se sustituye en la ecuación (2).

                8(--24 – 5y) – 3y = 19
                   --------------
                    2       

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.

Resolvemos esta ecuación. Simplificando 8 y 2 queda:

                4(--24 – 5y) – 3y = 19
  --96 – 20y – 3y = 19
                          --20y – 3y = 19 + 96
                                 -- 23y = 115
                                        y = --5

sustituyendo y = --5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:




                2x + 5(--5) = –24
                     2x – 25 = --24        R. x = 1/2, y = --5
                             2x = 1
                               x = 1/2

Haciendo x = 1/2 , y = --5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.


METODO DE REDUCCION


Resolver el sistema            5x + 6y = 20
                    4x – 3y = --23

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.

Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.

El m.c.m de los coeficientes de y, 6 Y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2X3=6, y tendremos:
                       
                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46

Como los coeficientes de y que hemos igualados tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:

                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46
                --------------------
                13x       = --26
                          x = --26/13
                          x = --2

Sustituyendo x = --2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

                5(--2) + 6y = 20
                  --10 + 6y = 20        R. x = --2, y = 5
                      6y = 30
                        y = 5


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método de reducción o suma y resta

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la ecuación es 2.
Así      3x²+ 2x + 1 = 0  es una ecuación de segundo grado.
Estas ecuaciones pueden ser completas e incompletas.
Existen diferentes métodos para resolver una ecuación de segundo grado, uno de ellos es aplicando la formula general .
               
  x=(-b±√(b^2-4ac))/2a    Formula general


Ejemplo.
Resolver la ecuación 3x² - 7x + 2= 0
Solución.
Aplicamos la formula general 
a=3,  b=-7,  c=2
    
x=(7±√(7^2-4(3)(2)))/(2(3))
x=(7±√(49-24))/6
x=(7±5)/6
                                       x₁= 2
                                       x₂= 1/3

Videos sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.

http://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI&feature=related 

http://www.youtube.com/watch?v=PunCBexLGBw&feature=related 

Términos semejantes

Expresión algebraica
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas
a, 5x, x²,  √x  (a+b)/c,

Término
Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados por el signo de más o de menos. Así a, 5b, 2xy, 4a/3x son términos.
Términos  semejantes.
Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras afectadas por los mismos exponentes.
2a y 4a ; -2b y 10b ;  5a³y 10a³
Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo termino dos o más semejantes

Reducir los siguientes polinomios
    - .  7a – 9b + 6a – 4b
    - .  a + b – c – b –c + 2c – a
    - .  5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y
    - .  -6m + 8n +5 –m – n -6m – 11
    - .  a + b + 2b – 2c + 3a +2c – 3b
    - .  81x + 19y – 30z + 6y +80x + x – 25y
    - .  15a² - 6ab – 8a² +20 – 5ab – 31 + a²- ab
    - .  -3a + 4b – 6a + 81b – 114b + 31a –a –b
    - .  -71a³b -84a⁴b² 50a³b +84a⁴b²-45a³b +18a³b
    - .   a +b –c +8 +2a +2b -19 -2c -3a -3 -3b +3c
    - .   ½ a +1/3 b +2a – 3b – 3/4a -1/6b +3/4 -1/2
    - .  -3/5 m² -2mn + 1/10 m²- 1/3 mn + 2mn -2m²
    - .  -3/4a²+1/2ab -5/6b² +7/3a²-3/4ab + 1/6b²- 1/3b²- 2ab
    - .   0.4x²y+ 31 +3/8xy²- 0.6y³ -2/5x²y- 0.2xy²+ 1/4y³- 6


A continuación se muestran algunos sitios de internet donde podrás ver algunos videos educativos relacionados con el tema, ahí se se te dará una explicación como resolver los problemas que aquí se te indican.

http://www.youtube.com/watch?v=Tbl00zznaAU&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=xhCHtNMG4w8

Valor numérico


Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
a=1, b=2, c=3, m=1/2, n=1/3, p=1/4

   - 3ab
   - 5a²b³c
   - b²mn
   - 24m²n³p
   - 2/3a⁴b²m³
   - 7/12c³p²m
   - a²- 5ab+ 3b³
   - √2bc
   - 5b² :m²/np
   - 4a/3bc




VIDEOS RELACIONADOS
ttp://www.youtube.com/watch?v=hDEg7OlRxVM



http://www.youtube.com/watch?v=G222egoC64k

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ECUACIONES SIMULTÁNEAS


Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones            x + y = 5
                    x -- y = 1
Son simultaneas porque x=3 y y=2 satisfacen ambas ecuaciones.

ECUACIONES EQUIVALENTES son las que se obtienen una de la otra.
Así,                      x + y = 4
                    2x + 2y =8
Son equivalentes porque dividiendo por dos la segunda ecuación se obtiene la primera.
    Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
    Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
ELIMINACION POR IGUALACION
Resolver el sistema                7x + 4y = 13        (1)
                        5x – 2y = 19        (2)

Despejemos una de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

    Despejando x en (1):     x = (13 – 4y) / 7
   
    Despejando x en (2)    x = (19 + 2y) / 5

Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido:
           
                    (13 – 4y) / 7 = (19 + 2y) / 5

Y ya tenemos una sola ecuación con una sola incógnita: hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación:


                5(13 – 4y) = 7(19 + 2y)
                  65 – 20y = 133 + 14y
                     --20y –14y = 133 – 65
                        --34y = 68
                        y = --2   

sustituyendo el valer de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:

                7x + 4(--2) = 13
                       7x – 8 = 13            R. x = 3, y = --2.
                             7x = 21
                               x = 3


ELIMINACION POR SUSTITUCION

Resolver el sistema         2x + 5y = --24
                    8x – 3y = 19

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:

                x = (--24 – 5y) / 2

este valor de x se sustituye en la ecuación (2).

                8(--24 – 5y) – 3y = 19
                   --------------
                    2       

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.

Resolvemos esta ecuación. Simplificando 8 y 2 queda:

                4(--24 – 5y) – 3y = 19
  --96 – 20y – 3y = 19
                          --20y – 3y = 19 + 96
                                 -- 23y = 115
                                        y = --5

sustituyendo y = --5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:




                2x + 5(--5) = –24
                     2x – 25 = --24        R. x = 1/2, y = --5
                             2x = 1
                               x = 1/2

Haciendo x = 1/2 , y = --5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.



METODO DE REDUCCION

Resolver el sistema            5x + 6y = 20
                    4x – 3y = --23

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.

Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.

El m.c.m de los coeficientes de y, 6 Y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2X3=6, y tendremos:
                       
                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46

Como los coeficientes de y que hemos igualados tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:

                5x + 6y = 20
                8x – 6y = --46
                --------------------
                13x       = --26
                          x = --26/13
                          x = --2

Sustituyendo x = --2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

                5(--2) + 6y = 20
                  --10 + 6y = 20        R. x = --2, y = 5
                      6y = 30
                        y = 5

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método de igualación


métodos de sustitución

método de reducción o suma y resta

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES O MAS INCOGNITAS


RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES INCOGNITAS CON TRES INCOGNITAS

Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de este método:
1)    Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene una ecuación con 2 incógnitas.
2)    Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
3)    Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
4)    Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
EJEMPLO:
Resolver el sistema.                x + 4y – z = 6         (1)
                        2x + 5y – 7z = -- 9     (2)
                        3x – 2y + z = 2    (3)

Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene:
               
                    2x + 8y – 2z = 12
                         -- 2x – 5y + 7z = 9
                    -----------------------
                           3y + 5z = 21    (4)

Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos:

                    3x + 12y – 3z = 18
                          --3x + 2y  – z   = -- 2
                           --------------------------
                          14y – 4z = 16     (5)     Dividiendo entre 2:
                           7y – 2z = 8

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema:
                    3y + 5z = 21        (4)
                    7y – 2z = 8        (5)


Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
               
                    6y + 10z = 42
                          35y – 10z = 40
                         --------------------
                    41y        = 82
                        y = 2

Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene:
           
                    7(2) – 2z = 8
                      14 – 2z = 8
                           – 2z = -- 6
                        z = 3

Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
                    x + 4(2) – 3 = 6        x=1, y=2, z=3  R.
                        x + 8 – 3 = 6
                                x = 1   
               

Resolver el sistema.

                    z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y
                    10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1
                    4z + 3y = 3x – y
Quitando denominadores:
                    5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y
                    80 – x + 2z           = 16y – 8
                             4z + 3y = 3x – y
Transponiendo y reduciendo:
                    6x + 5y + 5z = 39         (1)
                         – x – 16y + 2z = -- 88        (2)
                         – 3x + 4y + 4z = 0        (3)

Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6:

                        6x   + 5y +   5z =     39
                      –6x – 96y + 12z = -- 528
                      --------------------------------
                      – 91y + 17z = -- 489        (4)

Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino:

                    3x + 48y – 6z = 264
                         – 3x + 4y   + 4z = 0
                    --------------------------   
                             52y – 2z = 264
Dividiendo por 2:
                        26y – z = 132        (5)

Combinemos (4) y (5):

                     – 91y + 17z = -- 489        (4)
                         26y –    z =    132         (5)

Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7:
                    – 182y + 34z = -- 978
                                    182y –   7z =    924
                    --------------------------
                           27z = -- 54
                               z = -- 2
Sustituyendo z = --2 en (5):
                    26y – (-- 2) = 132
                    26y   + 2    = 132
                        26y = 130
                            y = 5

Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3):
           
                    – 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0
                    –3x   + 20     – 8      = 0
                             – 3x = -- 12
                                  x = 4
                   
                       
                   







HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus.
1)    Resolver               por la regla de Sarrus.

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:
 
Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha, como se indica a continuación:

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal.
    Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha  se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso tenemos:
-- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9
Valor de la determinante dada.

DETALLE DE LOS PRODUCTOS
De izquierda a derecha:
1 x 2 x 3 = 6         (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12         5 x (--2) x 1= -- 10

De derecha a izquierda:
        (--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30
        1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1
           3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo --24

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Resolver una ecuación significa hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de sus incógnitas que satisfacen la ecuación
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
Reglas que se derivan de este axioma
1.    Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa la igualdad subsiste.
2.    Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, negativa o positiva la igualdad subsiste.
3.    Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
4.    Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad negativa o positiva la igualdad subsiste.
5.    Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz la igualdad subsiste    
Regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
1.    Se efectúan operaciones indicadas, si las hay.
2.    Se hace transposición de términos, reuniendo en un solo miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.
3.    Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4.    Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones
1.     5x= 8x – 15
2.    4x+ 1= 2
3.    Y – 5 = 3y – 25
4.    5x + 6 = 10x +5
5.    9y – 11 = -10 + 5
6.    21 – 6x = 27 – 8x
7.    11x + 5x – 1 = 65x – 36
8.    X – (2x + 1 ) = 8 – ( 3x + 3)
9.    15x – 10 = 6x –(x+ 2) + (-x +3)
10.    X + 3(x -1) = 6 – 4(2x + 3)
11.    14x – (3x – 2) – [5x + 2 –(x – 1)] = 0
12.    6x-(2x + 1) =-{-5x +[-(-2x -1)]}
A continuación vamos a ver algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita.
Ejemplo. La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solucion.
En este tipo de problemas lo que debemos tomar en cuenta es una referencia, en este caso puede ser A  o B  para asignarle el valor de X, para este problema nos damos cuenta que a la letra A le asignamos el valor de X ya que no lo conocemos.
A + B = 84 Años
A= X años
B= A-8 años
Sustituyendo
X + X – 8 = 84 años
2x= 84 + 8
X= 92/2
X= 46
Por lo tanto
B= X – 8
B= 46 -8= 38
B = 38 añ0s
A= 46 años


http://www.youtube.com/watch?v=LHSMS7TlKss

http://www.youtube.com/watch?v=qLNeyeezdrk&feature=related

martes, 6 de septiembre de 2011

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

CUADRADO DE LA SUMA DE 2 CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos:
Efectuando este producto tendremos:
a + b
a + b
--------
a2 + ab
       ab + b2  o sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
----------------
a2 +2ab+b2

Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda.

1)    Desarrollar (x + 4)2
Cuadrado del primero                                   x2
Doble del primero por el segundo                 2X x 4 = 8X
Cuadrado del segundo                                  16

Luego                         (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 R.

Estas operaciones deben hacerse se manera mental y escribir solo el producto.

Cuadrado de un monomio. Para elevar un monomio al cuadrado se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente a cada letra por 2, sea el monomio 4ab2. Decimos que:  (4ab2)2 = 42a1x2b2x2 = 16a2b4

En efecto:                  (4ab2)2= 4ab2 x 4ab2 = 16a2b4

Del propio modo:       (5x3y4z5)2 = 25x6y8z10

                                               Cuadrado del 1°                     (4a)2 = 16a2
2)    Desarrollar: (4ª + 5b2)2          Doble del 1° por el 2°             2 x 4a x 5b2= 40ab2
Cuadrado del segundo          (5b2)2 = 25b4

Luego:                        (4a + 5b2)2 = 16a2 + 40ab2 + 25b4 R.




CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Elevar (a – b) al cuadrado equivale al multiplicar esta diferencia por si misma; luego:

(a – b)2 = (a – b) (a – b)

Efectuando este producto, tendremos:

a – b
a – b
-------
a2 – ab                                               o sea (a – b)2 = a2 – 2ab +b2
    -- ab + b2
----------------
a2 – 2ab + b2

Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda.

1)    Desarrollar (x – 5)2.
(x – 5)2= x2 – 10x + 25 R.

2)    Efectuar (4a2 – 3b3)2.
(4a2 – 3b3)2 = 16a4 – 24a2b3 + 9b6 R.



PRODUCTO DE LA SUMA POR DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Sea el producto (a + b) (a – b).

            Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a + b
a – b
-------
a2 + ab                                                           o sea (a + b) (a – b) = a2 – b2
    -- ab – b2
----------------
a2        -- b2

Luego, la suma de dos cantidades multiplicado por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

1)    Efectuar (a + x) (a – x).

(a + x) (a – x) = a2 – x2 R.
2)    Efectuar (2a + 3b) (2a – 3b).

(2a +3b) (2a – 3b)= (2a)2 – (3b)2 = 4a2 – 9b2 R.

3)    Efectuar: (5an+1 + 3am) (3am – 5an+1).

Como el orden de los sumandos no altera la suma, 5an+1 + 3am es lo mismo que 3am + 6an+1, pero téngase presente que 3am – 5an+1 no es lo mismo que 5an+1 – 3am
Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.

Tendremos: (5an+1 + 3am) (3am – 5an+1) = (3am)2 – (5an+1)2 = 9a2m – 25a2n+2 R.

CUBO DE UN BINOMIO

1)    Elevemos a + b al cubo.

            Tendremos (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b)
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a2 + 2ab + b2
a + b
------------------
a3 + 2a2b + ab2                                             o sea: (a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3
         a2b + 2ab2 + b3
---------------------------
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

2)    Elevamos a – b al cubo.

Tendremos: (a – b)3 = (a – b)2 (a – b) = (a2 – 2ab + b2) (a – b)
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a2 – 2ab + b2
a – b
------------------
a3 – 2a2b + ab2                                             o sea: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 R.
                – a2b + 2ab2 – b3
            --------------------------
            a3 – 3a2b +3ab2 – b3

Lo que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

EJEMPLOS:
           
1)    Desarrollar (a + 1)3.

(a + 1)3 = a3 + 3a2(1) + 3a(1)2 + 13 = a3 + 3a3 + 3ª +1 R.


2)    Desarrollar (x – 2)3.

(x – 2)3 = x3 – 3x2(2) + 3x(2)2 – 23 = x3 – 6x2 + 12x – 8 R.


EJERCICIOS:

            Escribir, por simple inspección, el resultado de:

1)    (x + 2)2
2)    (x + 2) (x + 3)
3)    (x + 1) (x – 1)
4)    (x – 1)2
5)    (n + 3) (n + 5)
6)    (a + b – 1) (a + b + 1)
7)    (1 + b)3
8)    (3ab – 5x2)2
9)    (5x3 + 6m4)2
10) (2a + x)3
11) (xa+1 -- 8)(xa+1 + 9)
12) (a2b2 + c2) (a2b2 – c2)
13) (x2y3 – 8) (x2y3 + 6)
14) (a + b) (a – b) (a2 – b2)
15) (x + 5) (x – 5) (x2 + 1)


VIDEOS RELACIONADOS:


BINOMIO AL CUADRADO


BINOMIO AL CUBO

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS



La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas 2 cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es  respecto de la unidad positiva.
            El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb.

LEY DE LOS SIGNOS
Distinguiremos 2 casos:
1) signo del producto de 2 factores. En este caso, la regla es:
Signos iguales dan (+) y signos diferentes dan ()
            1. (+a) × (+b)= +ab
                2. (‒a) × (+b)= ‒ab
            3. (+a) × (‒b)= +ab
            4. (‒a) × (‒b)= +ab
Lo anterior podemos resumirlo diciendo que
+ por + da +
por da +
+ por da
 ‒ por + da

2) Signo del producto de más de 2 factores. En este caso, la regla es:
            a.- El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno.
            Así,      (‒a) × (‒b) × (‒c) × (‒d) = abcd
            b.- El signo de productos de varios factores es cuando tiene un número impar de factores negativos.
            Así,      (‒a) × (‒b) × (‒c) = ‒abc

Ley de los exponentes
            Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
            Así,      a4 × a× a2= a4+3+2 = a9  

EJERCICIOS.
1. a + 3 por a ‒ 1                               8. ‒ 4y + 5x por ‒ 3x + 2y   
2. a ‒ 3 por a + 1                               9. 5a ‒ 7b por a + 3b
3. x + 5 por x ‒ 4                               10. 7x ‒ 3 por 4 + 2x
4. m ‒ 6 por m ‒ 5                            11. ‒ a + b por ‒ 4b +8a                             
5. ‒ x + 3 por ‒ x + 5                        12. 6m ‒5n por ‒n + m                   
6. ‒ a ‒2 por ‒ a ‒ 3                        13. 8n ‒ 9m por 4n + 6m
7. 3x ‒ 2y por y + 2x                         14. ‒7y ‒ 3 por ‒11 + 2y

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