miércoles, 7 de septiembre de 2011

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES O MAS INCOGNITAS


RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES INCOGNITAS CON TRES INCOGNITAS

Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de este método:
1)    Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene una ecuación con 2 incógnitas.
2)    Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
3)    Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
4)    Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
EJEMPLO:
Resolver el sistema.                x + 4y – z = 6         (1)
                        2x + 5y – 7z = -- 9     (2)
                        3x – 2y + z = 2    (3)

Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene:
               
                    2x + 8y – 2z = 12
                         -- 2x – 5y + 7z = 9
                    -----------------------
                           3y + 5z = 21    (4)

Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos:

                    3x + 12y – 3z = 18
                          --3x + 2y  – z   = -- 2
                           --------------------------
                          14y – 4z = 16     (5)     Dividiendo entre 2:
                           7y – 2z = 8

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema:
                    3y + 5z = 21        (4)
                    7y – 2z = 8        (5)


Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
               
                    6y + 10z = 42
                          35y – 10z = 40
                         --------------------
                    41y        = 82
                        y = 2

Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene:
           
                    7(2) – 2z = 8
                      14 – 2z = 8
                           – 2z = -- 6
                        z = 3

Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
                    x + 4(2) – 3 = 6        x=1, y=2, z=3  R.
                        x + 8 – 3 = 6
                                x = 1   
               

Resolver el sistema.

                    z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y
                    10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1
                    4z + 3y = 3x – y
Quitando denominadores:
                    5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y
                    80 – x + 2z           = 16y – 8
                             4z + 3y = 3x – y
Transponiendo y reduciendo:
                    6x + 5y + 5z = 39         (1)
                         – x – 16y + 2z = -- 88        (2)
                         – 3x + 4y + 4z = 0        (3)

Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6:

                        6x   + 5y +   5z =     39
                      –6x – 96y + 12z = -- 528
                      --------------------------------
                      – 91y + 17z = -- 489        (4)

Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino:

                    3x + 48y – 6z = 264
                         – 3x + 4y   + 4z = 0
                    --------------------------   
                             52y – 2z = 264
Dividiendo por 2:
                        26y – z = 132        (5)

Combinemos (4) y (5):

                     – 91y + 17z = -- 489        (4)
                         26y –    z =    132         (5)

Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7:
                    – 182y + 34z = -- 978
                                    182y –   7z =    924
                    --------------------------
                           27z = -- 54
                               z = -- 2
Sustituyendo z = --2 en (5):
                    26y – (-- 2) = 132
                    26y   + 2    = 132
                        26y = 130
                            y = 5

Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3):
           
                    – 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0
                    –3x   + 20     – 8      = 0
                             – 3x = -- 12
                                  x = 4
                   
                       
                   







HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus.
1)    Resolver               por la regla de Sarrus.

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:
 
Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha, como se indica a continuación:

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal.
    Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha  se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso tenemos:
-- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9
Valor de la determinante dada.

DETALLE DE LOS PRODUCTOS
De izquierda a derecha:
1 x 2 x 3 = 6         (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12         5 x (--2) x 1= -- 10

De derecha a izquierda:
        (--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30
        1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1
           3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo --24

8 comentarios:

  1. hay que alibiane me diero garcias

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  2. copy and page del libro de algebra de baldor!! pag 340 capi 25

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  3. simon es muy cierto es copia exacta de algebra de baldor may

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  4. jaja no tubo otro mejor idea

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  5. deberían de considerar su Ortografía antes dé comentar algo Jumentos de poca monta !

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  6. den mas de 20 ejempolos porfavor

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