martes, 6 de septiembre de 2011

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

CUADRADO DE LA SUMA DE 2 CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos:
Efectuando este producto tendremos:
a + b
a + b
--------
a2 + ab
       ab + b2  o sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
----------------
a2 +2ab+b2

Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda.

1)    Desarrollar (x + 4)2
Cuadrado del primero                                   x2
Doble del primero por el segundo                 2X x 4 = 8X
Cuadrado del segundo                                  16

Luego                         (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 R.

Estas operaciones deben hacerse se manera mental y escribir solo el producto.

Cuadrado de un monomio. Para elevar un monomio al cuadrado se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente a cada letra por 2, sea el monomio 4ab2. Decimos que:  (4ab2)2 = 42a1x2b2x2 = 16a2b4

En efecto:                  (4ab2)2= 4ab2 x 4ab2 = 16a2b4

Del propio modo:       (5x3y4z5)2 = 25x6y8z10

                                               Cuadrado del 1°                     (4a)2 = 16a2
2)    Desarrollar: (4ª + 5b2)2          Doble del 1° por el 2°             2 x 4a x 5b2= 40ab2
Cuadrado del segundo          (5b2)2 = 25b4

Luego:                        (4a + 5b2)2 = 16a2 + 40ab2 + 25b4 R.




CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Elevar (a – b) al cuadrado equivale al multiplicar esta diferencia por si misma; luego:

(a – b)2 = (a – b) (a – b)

Efectuando este producto, tendremos:

a – b
a – b
-------
a2 – ab                                               o sea (a – b)2 = a2 – 2ab +b2
    -- ab + b2
----------------
a2 – 2ab + b2

Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda.

1)    Desarrollar (x – 5)2.
(x – 5)2= x2 – 10x + 25 R.

2)    Efectuar (4a2 – 3b3)2.
(4a2 – 3b3)2 = 16a4 – 24a2b3 + 9b6 R.



PRODUCTO DE LA SUMA POR DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Sea el producto (a + b) (a – b).

            Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a + b
a – b
-------
a2 + ab                                                           o sea (a + b) (a – b) = a2 – b2
    -- ab – b2
----------------
a2        -- b2

Luego, la suma de dos cantidades multiplicado por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

1)    Efectuar (a + x) (a – x).

(a + x) (a – x) = a2 – x2 R.
2)    Efectuar (2a + 3b) (2a – 3b).

(2a +3b) (2a – 3b)= (2a)2 – (3b)2 = 4a2 – 9b2 R.

3)    Efectuar: (5an+1 + 3am) (3am – 5an+1).

Como el orden de los sumandos no altera la suma, 5an+1 + 3am es lo mismo que 3am + 6an+1, pero téngase presente que 3am – 5an+1 no es lo mismo que 5an+1 – 3am
Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.

Tendremos: (5an+1 + 3am) (3am – 5an+1) = (3am)2 – (5an+1)2 = 9a2m – 25a2n+2 R.

CUBO DE UN BINOMIO

1)    Elevemos a + b al cubo.

            Tendremos (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b)
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a2 + 2ab + b2
a + b
------------------
a3 + 2a2b + ab2                                             o sea: (a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3
         a2b + 2ab2 + b3
---------------------------
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

2)    Elevamos a – b al cubo.

Tendremos: (a – b)3 = (a – b)2 (a – b) = (a2 – 2ab + b2) (a – b)
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a2 – 2ab + b2
a – b
------------------
a3 – 2a2b + ab2                                             o sea: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 R.
                – a2b + 2ab2 – b3
            --------------------------
            a3 – 3a2b +3ab2 – b3

Lo que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

EJEMPLOS:
           
1)    Desarrollar (a + 1)3.

(a + 1)3 = a3 + 3a2(1) + 3a(1)2 + 13 = a3 + 3a3 + 3ª +1 R.


2)    Desarrollar (x – 2)3.

(x – 2)3 = x3 – 3x2(2) + 3x(2)2 – 23 = x3 – 6x2 + 12x – 8 R.


EJERCICIOS:

            Escribir, por simple inspección, el resultado de:

1)    (x + 2)2
2)    (x + 2) (x + 3)
3)    (x + 1) (x – 1)
4)    (x – 1)2
5)    (n + 3) (n + 5)
6)    (a + b – 1) (a + b + 1)
7)    (1 + b)3
8)    (3ab – 5x2)2
9)    (5x3 + 6m4)2
10) (2a + x)3
11) (xa+1 -- 8)(xa+1 + 9)
12) (a2b2 + c2) (a2b2 – c2)
13) (x2y3 – 8) (x2y3 + 6)
14) (a + b) (a – b) (a2 – b2)
15) (x + 5) (x – 5) (x2 + 1)


VIDEOS RELACIONADOS:


BINOMIO AL CUADRADO


BINOMIO AL CUBO

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